Как называется точка над «i» и зачем она нужна?

Точка над буквой «i» — это не просто элемент дизайна в написании, а важная часть графической и фонетической структуры языка. По крайней мере, так когда-то было. Расставляем все точки и рассказываем, зачем она нужна и какое у нее название (даже два).